傅里叶变换是一种在信号处理、图像处理、通信工程等多个领域中广泛应用的数学工具，它能够将时域或空间域中的信号转换到频域中，从而帮助我们更好地理解和分析信号的特性。下面简要介绍几种常见的傅里叶变换形式及其公式。

1. 连续傅里叶变换（CFT）

连续傅里叶变换用于分析连续时间信号。对于一个连续时间函数 \(f(t)\)，其连续傅里叶变换 \(F(\omega)\) 定义为：

\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]

其中，\(j\) 是虚数单位，\(\omega\) 表示角频率。

逆变换公式为：

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega \]

2. 离散傅里叶变换（DFT）

离散傅里叶变换适用于有限长度的序列，是数字信号处理中最常用的变换之一。对于一个长度为 \(N\) 的离散时间序列 \(x[n]\)，其离散傅里叶变换 \(X[k]\) 定义为：

\[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\frac{2\pi}{N}nk}, \quad k = 0, 1, ..., N-1 \]

逆变换公式为：

\[ x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j\frac{2\pi}{N}nk}, \quad n = 0, 1, ..., N-1 \]

3. 快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换（FFT）是计算离散傅里叶变换的一种高效算法，通过减少计算量显著提高了计算速度。FFT利用了DFT中数据的对称性和周期性，将DFT的复杂度从 \(O(N^2)\) 减少到 \(O(N\log N)\)。

虽然FFT本身不是一个独立的变换，而是DFT的一种高效实现方式，但它在实际应用中极为重要，尤其是在需要处理大量数据的应用场景中。

以上就是一些基础的傅里叶变换公式介绍。傅里叶变换理论丰富，应用广泛，是现代科学与工程技术不可或缺的一部分。

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